用发散思维解决指数函数的相关问题

【关键词】发散思维指数函数问题

发散思维也叫求异思维，是一种多向思维方式。这里有一题多解发散，有保持原命题的实质变换其形式的转化发散，有把一个复杂问题分解成单纯问题逐个加以分析解决的分解发散，有综合发散等思维解题法。通过学生对指数函数性质的回顾，进一步加深对指数函数性质的认识，从而增进对数学本质的理解。主要做法如下：

一、观察结构特征，探索解题途径

重在突出对研究指数函数性质的思想方法——以有限逼近无限的思想和概念一般推广的一般思想方法的回顾，以增进对数学本质的理。

解。在知识的梳理方面，注重结构化。

若f(x)=，求f()+f()+f()…

+f( )的值，和式中共有1000项，逐项相加是不可

取的，需找出f(x)的结构特征，发现如下规律：

+ = + = + …=1而f(x)+f(1-x)

这启发得将和式配对结合后再相加

原式=［f()+f()+f［()+()］+…

［f()+f()］+1+1…+1=500。

观察比较发现规律f(x)+f(1-x)=1是解决本题的突破口。

设f(x)= (0＜a＜1)求和式f()+()+…

+f()的值。

解：f(x)=，f(1-x)= ，

而f(x)+f(1-x)= +

由此推广到一般情况：

2.f(x)= (0＜a＜1)求f()+f()

+f()+…+f( )的值。

解f()，f( )=f(1-)

所以原式＝［f()+［f( )+f()+f( )］…＋

［f()＋f()］

＝1+1+…=

３.已知函数f(x)＝，求f(1)＋f()＋f(2)＋f

()＋f(3)＋()＋…＋f(2010)＋f()的值。

则f(x)＋()

∴原式=f(1)＋f()＋f(2)＋f()＋…＋

［f(2010)＋f()］＝1＋1…＝2010×1＝2010.

本题从结论的数量特征入手，得出一般性结论，

二、解法发散，进行变通训练

f(x)＝(＋)，a，b∈Ｒ，定义域x∈Ｒ但x≠

0，且f(2)＝

（1） 求函数的解析式；（2）判断函数f(x)的奇偶性

（1）解：函数的定义域为(－∞，0)U(0，＋∞)f(x)

=(＋)。

(2)证法一：∵函数f(x)定义域为(－∞，0)U(0，＋∞)

∵f(-x)＝＋ ＝ ＋

函数f(x)为偶函数。

证法二：∵函数f(x)定义域为f(x)定义域为(－∞，0)U

(0，＋∞)

由f(-x)-f(x)=

∴函数f(x)为偶函数。

三、转化发散，实质变换形式

已知 求下列各式的值

(1).a+a-1 (2).a2+a-2 (3).

将

(2)再将a+a-1=7，两边平方

四、综合发散，提高数学能力

对于函数f(x)＝a- (a∈R)

(1)探索函数f(x)的单调性；(2)是否存在实数，a使f(x)

为奇函数。

证：设(1)x1＜x2，f(x1)-f(x2)

∵＜，＞0， ＞0，

∴f(x1)-f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)

对于a任意实数，f(x)在(-∞，+∞)h上为增函数。

(2)由f(-x)=-f(x)得a-=-a+ ，

∴2a= +=2

∴a=1，即当a=1时f(-x)=-f(x)恒成立，

∴f(x)为奇函数.

通过以上情况的讨论，有利于培养学生的“发散思维”，为我们改进数学教学提供了新的更大的平台，打破常规教学的“收敛性”思维，拓宽了学生的学习空间，充分发挥了学生的主动性，通过观察数量结构特征，发现规律，找到了问题的突破口，得到了一般性结论，解决了问题，加深了对数学本质的理解，达到了培养学生的创新能力的目的。

参考文献：

1.希扬主编《发散思维大课堂》高一数学（上）

2.《课堂教学与案例》人教A版数学（必修1）

3.《普通高中课程实验教科书》人教A版数学（必修1）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文