数学建模的思考与实践

数学建模是一个学数学､做数学､用数学的过程,它体现了学和用的统一｡同时,数学建模是一种数学的思考方法,是对现实世界的一种用数学语言和方法,通过抽象､简化,建立近似刻画并解决实际问题的数学解决方案｡数学建模的对象常常是一些实际生活､生产问题,把这些问题进行数学化无疑对培养学生的数学观念和数学意识具有重要的作用｡下面通过实际例子,来说明数学建模与数学教学的结合｡

一､数学建模的概念

数学模型是用数学的语言和方法对各种实际对象做出抽象或模仿而形成的一种数学结构｡建立数学模型的过程叫做数学建模｡将所考察的实际问题转化为数学问题,构造出相应的数学模型,通过对数学模型的研究和解答,使原来的实际问题得以解决,这种解决问题的方法叫做数学模型方法｡

建立教学模型的过程,是把错综复杂的实际问题简化､抽象为合理的数学结构的过程｡要通过调查､收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要矛盾,建立起反映实际问题的数量关系,然后利用数学的理论和方法去分折和解决问题｡这就需要深厚扎实的数学基础,敏锐的洞察力和想象力,对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面｡数学建模是联系数学与实际问题的桥梁,是数学在各个领域广泛应用的媒介,是数学科学技术转化的主要途径,数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视,它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一｡

二､数学建模的重要性

21世纪课程改革的一个重要目标就是要加强综合性､应用性内容,重视联系学生生活实际和社会实践,逐步实现应试教育向素质教育转轨,目前数学教学状况令我们担忧,相当一部分教师认为数学主要是培养学生运算能力和逻辑推理能力,应用问题得不到应有的重视;至于如何从数学的角度出发,分析和处理学生周围的生活及生产实际问题更是无暇顾及,因而学生平时很少涉及实际建模问题的解决,其结果是可想而知的,所以加强学生的建模教学已刻不容缓｡

开展数学建模教学,可激发学生的学习积极性,培养团结协作的工作能力;培养学生的应用意识和解决日常生活中有关数学问题的能力;能使学生加强数学与其他学科的融合,体会数学的实用价值;同时也是素质教育的重要体现｡

三､数学教学中培养建模思想的意义

数学教育是基础教育的不可缺少的一个环节,在数学教学中培养建模思想,开展建模活动,具有重要意义｡

1.在数学教学中培养建模思想符合学生认知过程发展规律

在数学建模的过程中,学生通过对现实问题的观察､归纳､假设,将其转化为一个数学问题,然后求解数学问题,得到所求的解;再回到实际问题中,看是否能解决实际问题,是否与实际经验或数据相吻合,这样经过直觉——试探——出错——思考——猜想——验证的过程,符合学生的认知规律,引导学生建立相应的数学模型,选择适当的方法解决问题,可以更好地激发学生的学习兴趣.

2.在数学教学中培养建模思想可以更好地培养学生的综合能力

在数学建模的过程中,可以培养学生将实际问题用数学语言表达出来的能力,可以培养学生运用数学工具对所建立的数学模型进行处理的能力,可以培养学生与同学间的合作交流及创新能力等等｡

3.数学建模可以调动学生的学习积极性

在数学建模过程中,学生亲自搜集数据､查找资料｡并对学习的内容进行整理汇报､答辩或争辩｡教师扮演的是教学的设计者和指导者,学生是学习过程中的主体｡师生处于平等地位｡因此极大地调动了学生自觉学习的积极性｡

四､数学教学中运用数学建模的实践

笔者根据多年的教学经验,下面结合实践谈一些做法及思考｡

1.确定数学建模教学的主要内容｡

根据不同学生的数学基础,结合学生的实际情况,依照“循序渐进”原则,确定了数学建模教学的主要内容｡

(1)在学完有关数学知识后,针对所学知识安排应用专题,重点是渗透数学建模思想,提高学生创新意识和化归能力｡

(2)结合新课程理念和时代发展的特点,涉及现代生活的经济统计图表(识别､分析､绘制)､数据拟合(最小二乘法)､动态规划(货郎担问题,生产计划问题等)､网络规划(绘制､计算､优化)､矩阵对策､股票､彩票发行模型｡风险决策､市场预测､存贮原理､供求模型､蛛网模型､法律与犯罪问题､就业与失业､广告与税款等等,则以专题讲座等形式向学生作介绍｡此外还可以介绍有关跨学科的生态平衡､环境保护､人口生命等方面的问题,以适应时代要求｡

2.常见数学模型类别

(1)建立函数模型

如现实生活中普遍存在着最优化问题——最佳投资､最小成本等｡常常归结为函数的最值问题｡通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数知识和方法解决｡

(2)建立方程或不等式模型

现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系,如:投资决策､人口控制､资源保护､生产规划､交通运输､水土流失等问题中涉及的有关数量问题,常归结为方程或不等式求解｡

(3)建立数列模型

现实生活中的许多经济问题,如增长率､利息(单利､复利)､分期付款等与时间相关的实际问题;生物工程中的细胞繁殖与分裂等问题;人口增长､生态平衡､环境保护,物理学上的衰变､裂变等问题.常通过建立相应的数列模型求解｡

(4)建立几何模型

现实世界中涉及一定图形属性的应用问题｡如航行､建筑､测量､人造卫星运行轨道等,常需建立相应的几何模型,应用几何知识,转化为用方程或不等式,或三角知识求解｡

3.渗透数学建模思想的实施

首先,以简单建模为主要目标,把渗透数学建模意识作为主要任务,具体应立足课本,以应用题为突破口,提高学生应用数学知识解决实际问题的兴趣,使学生体会到数学的价值,享受到数学学习的乐趣,增强掌握数学建模的信心,因为学生刚开始接触这一新的思想方法,所以选取的例子多数贴近教材内容,贴近学生认知水平,贴近学生生活实际,易于理解｡

其次,落实典型案例,让学生初步掌握建模的常用方法为教学目标｡随着学习程度的加深,学生所学知识逐渐增多,因此我们结合教材内容精心挑选典型案例,有计划地让学生参与建模过程,设法让学生初步掌握理论分析法､类比联想分析法､数据分析法､模拟法和人工假设法等中学阶段适宜介绍的数学建模方法,让学生接触更多的社会知识和科学知识,从而激发学生进一步学好数学的热情｡

最后,主要以建模为核心,落实综合建模为教学目标,通过对课程标准所涉及的､与当前水平相适应的现实生产和生活中的应用问题进行详尽的分类,通过剖析典型例题,讲述数学建模的科学思维方法,对现实问题进行良好的迁移,使学生形成良好的数学认知结构,切实掌握常见应用问题的解答思路和方法,从而更有效地发展数学应用意识和提高数学建模能力｡

在教学过程中,遵循“由简单到复杂,逐步渗透”的原则,组织教师认真学习相关理论知识,并共同设计数学建模例题,对数学建模问题的编拟,主要遵循以下几个原则:

(1)导向性｡选编的数学建模问题,在思想内容上富于时代信息,并注重真实性､科学性､趣味性,这样有助于培养学生的分析､解决问题能力｡

(2)隐蔽性｡通过有适度隐蔽性的问题,才能更好培养学生建模能力｡

(3)原始性｡以来自广播电视､报刊杂志的信息,政府机关等的原始材料,作为我们数学建模问题的重要来源,可以让学生体验到数学的实用性,能更好地提高他们学习的积极性｡

(4)创新性｡编制建模例题时,还须考虑培养学生的创新精神和创造能力,为此,我们较为注重一题多模或多题一模以及统计图表等例题的编拟,密切关注现代科学技术的发展｡使数学创新和高技术密切结合,溶入当代科学发展的主流｡

总结

数学建模教学关键要引导学生深层次地参与,充分体现学生的主体地位,把课内教学与课外活动结合起来是一条值得探索的途径,但这要在教学中留给学生充分的空间和时间,如何合理地把握好这个“度”,值得我们进一步探讨｡

参考文献

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(责任编辑 刘永庆)