数学教育多学科融合的思考

摘 要：如今大学数学教育分科教学和脱离实际的现状在一定程度上是学生丧失学习兴趣、学习效率低下、分析问题与解决问题能力较差的原因。本文受陈建功先生的教育思想的启迪，分析了高等院校数学教育的原则和目的，我们认为现在的教育模式在一定程度上违背了数学教育的原则，削弱了数学的工具作用。虽然综合数学的教学模式相对分科教学具有很大的优势，然而由于现在对综合数学教育模式缺乏系统的教育体系和切实可行的教育手段，当前在高等院校实行综合数学的教学模式有一定的困难。本文提出了在教学中“渐进融合各科数学知识”的教学形式：在不改变当前教学模式的前提下，随着学生对各门数学知识的学习，任课教师应该有目的的加强所授课程与学生已学课程之间的联系，有目的的在内容上突出数学的整体性和实践性，并指出了在教学中要做到“融合各科数学知识”需要注意的事项。这种教学形式不仅可以降低分科教学的不利影响，而且可以突出综合性教学对学生学习数学的积极作用。

关键词：数学教育;教学模式;分科教学;综合教学;学习效率

中图分类号：G424 文献标志码：A文章编号：1002-2589（2011）36-0250-06

引言

数学和其他任何科学一样，都是伴随着生产和其他科学技术发展而产生和发展的。在古代社会中，由于生产的需要，人们已经开始重视事物之间量与量的关系，这是数学产生的必然。现今无论是社会科学还是自然科学、数学都起着重要的作用。事实上，其他自然科学和社会科学的发展也促进和影响着数学的发展，并为数学的发展提出新的挑战。数学教育改革的开创者、英国数学家J·彼利（J.Perry1850—1920）认为：数学的本质在于其实践性，不只是说教一些技巧[1]，应当从自然现象或社会现象中去认识数学，由实践去发现数学的内在本质。

就古代而言，数学是没有分科的。例如在唐朝期间整理的《算经十书》，是对生产和生活中计算问题的经验和技巧的总结。即使是西方的数学巨著、欧几里德的《几何原本》的前几章也包含着代数的内容。由此可见，数学无论从其起源还是中外古代数学著作都没有分科的迹象。事实上，数学从综合走向分科只是近代数学的事情，这是数学发展的必然，但不是终结。数学各科的独立发展是数学发展的必由之路，也是数学科学由直观走向抽象的过程。数学从综合走向分科独立发展并不意味着数学各科之间的联系越来越少，而只能说明数学的内容越来越丰富。

然而在我国高等院校的数学教学中，无论是数学专业还是非专业的学生的数学教学都是分学科进行的。由于每门课程有着大量的内容，且教学时间比较短，教师只能给学生讲解一些基本概念和基本方法，没有时间作深入的探索；再者很多学生从功利、择业的角度看待数学的学习，认为“能过关就行”。这样教学的直接后果就是孤立、割裂地看待数学各个学科之间的联系，让学生感到不同课程都是为解决特定问题而设计的方法，忽略了数学各科之间的联系；另外分科教学模式难以激发学生的学习兴趣，把数学学习变成了一种纯粹的负担；更为严重的是，教学与实际应用相脱离，削弱了数学的实践性，不能有效提高学生分析问题和解决问题的能力。

基于以上情况和问题，我们提出一个改革的思路，作为数学教学改革的一个探索。本文内容安排如下：引言部分简述了目前的大学数学教学情况和存在的问题；第二部分分析高等院校数学教育的原则和目的；第三部分包括四方面的内容：分科教学的不利影响、综合教学的优势，在教学中提出融合各科数学知识的教学思路；最后一部分对全文作了总结和对未来研究的展望。

一、大学数学教学原则和目的

我国现代数学家和数学教育家，中国科学院院士陈建功先生在他的《对二十世纪的数学教育》中指出：支配数学教育的目标、材料和方法，有三大原则：实用性原则、论理的原则和心理的原则[1]。我们认为如今的大学数学教育也应该遵循这三个原则。

第一个是“实用性原则”。陈先生说：“数学在日常生活中已见其有使用价值，不但如此，数学也是物质支配和社会组织之一武器，对于自然科学、产业技术、社会科学的理解、研究和进展，都是需要数学的。假如数学没有实用，它就不应列入于教科之中”[1]，这和我们通常说的‘数学是科学的语言’道理一样。每位大学教师都很清楚数学是很多学科学习的基础，是其它科学分析问题解决问题不可或缺的工具，而且很多科学研究到一定深度以后，都可以归结为某类数学问题。例如在近年来兴起的新兴交叉学科‘生物信息学’中，许多难以解决的问题最终可以归结为某个数学的问题[5]。反过来，数学之所以向前发展恰恰就是其它科学在发展过程中对数学提出的挑战，为数学的发展提供了经久不息的动力。因此数学在为其他学科提供工具的同时也为自身的发展不断拓展了道路，这就是数学存在和发展的意义。有关数学发展与其应用性的例子很多，其中美国运筹学会的刊物《OperationsResearch》在创刊50周年纪念特刊上的文章[14]就很能说明这个问题。

第二个数学教育的原则是“论理的原则”。我国中学教育已经十分重视学生数学推理能力的培养[15]，大学教育是中学教育的继续，教育价值也有其内在的连续性。因此，在大学数学教育中，培养大学生的推理能力和逻辑能力是必要的，这不仅是‘论理的原则’教育价值的具体体现，也是大学生走向工作岗位所必备的素质。陈建功先生指出：数学具有逻辑推理的教育价值，称之为论理的价值，忽视数学教育论理性的原则，无异于数学教育的自杀[1]。我们从中不难看出，在大学数学教学中应当十分重视学生的逻辑推理能力。本文之所以在这里重提数学推理的教育价值，就是由于数学具有这种特殊性。数学思维可以概括为三个基本范畴：问题解决的技能、表征技能和推理技能[16]。然而在实际教学中，教师往往将教学重点放在数学结论的推理上，而忽略数学思维的前两个技能；更有甚者，有的教师将教学的重点放在结论的应用和做题的技巧上，这无异于让学生‘丢了西瓜，捡了芝麻’。英国著名的管理学大师查尔斯·汉迪在其名著《思想者》中指出：“好的教师只管讲故事、提问题，而寻找答案则是学生自己应该做的事情。教师只能指点方向，给出建议。”[19]

“心理的原则”是数学教育的第三个原则。大学的数学教育应该站在学生的立场，顺应其心理发展，才能满足他们的真实感觉。不注重‘心理原则’的教学方式是没有教育价值的。多数认知心理学家和数学教育家都认为：知识是通过认知主体的积极构建而获得的，而不仅仅是通过传递而实现的；而且知识的获得涉及到重新构建[17]。哈塔诺（Hatano）还发现无论是在科学史上还是认知过程中对观念的变化尤其值得关注，这也许因为基本观念的变化可能是最激进的智力重构[9]12-16。由此可见，学生获得知识和其自身知识结构以及学生认知事物的基本观念有着重要的关系。基本认知观念决定知识重组的结构和获得知识的效率。而学生一定时期的认知心理决定着他们此时认识事物的基本观念，因此在大学教学中也应该顺应学生的心理发展。在现实教育体制下，刚刚步入大学校园的新生，从心理上来说，往往还没有摆脱高中阶段的心理结构。说得更直接一点，我国的高中教育是高考导向的教学方式，学生的学习心理、学习方式、生活方式、知识结构都是为高考这个目标服务的，这种教学模式的直接后果就是学生的动手能力、思维的迁移能力较差。然而，大学教育是素质导向的教学方式，这种方式以提高学生的个人技能、展现学生个性为目的，让学生在大学的校园里能够蓬勃发展、茁壮成长，将来成为对社会和国家有用的人才。由此可见，中学教育和大学教育在这个层面上不具有连续性，而这种断层使得刚刚步入大学校园的新生无所适从，需用一个很长的时段来磨平这两种心理的鸿沟。这样就要求大学教师在教学中要注意学生的心理变化和知识结构，在教学中考虑学生的心理发育阶段和对大学数学的接受能力，用合理的方式来揭示深奥的、有趣的数学思想。

这三个原则是统一的，而不是对立的。大学里的数学教师应该让学生感到数学是来自生活、生产，易于理解且具有使用价值，然后再向理论的层面深入。“心理性和实用性应该是论理性的向导”[1]。数学教育应该是使学生知道数学的发展，这里的发展包含两个方面：一个是来自客观世界，另一个是数学自身的发展。在数学教学过程中切不可将理论和应用割裂，然后再将理论应用到实际，这样的教学方式使学生只能生硬地接受所学的内容，其结果必然是丧失学习的兴趣。恰当的教学方式应该是把数学的概念和方法应用于实际问题的分析和解决，这样学生自然会产生索取理论和知识的欲望，使学生能够主动地学习。

进入二十一世纪以后，人类对许多事物的看法都在发生着潜移默化的变化，物理、天文、化学等科学已经取得了相当大的进展，目前最为复杂的生命现象也受到了人们的广泛关注，这些科学的进展对数学提出了更大的挑战，同时对数学教育也提出了更高的要求。在当今这个高速发展的时代，学生未来要成长为对社会和国家有意义的工作者，必须具备理解自然和洞察社会的能力，这就是数学教育要培养学生的可持续发展和通识教育[13]25-28。所以必须让学生养成有利于这种能力发展的思想和习惯，这就是所谓的教育。数学对于学生是必需的知识，无论在思想上还是在方法上都是十分有用的工具。不但如此，理解和分析数量与空间的关系也是数学的特征，因此这是数学教育特有的任务。从广义来讲就是让学生能够对数学有一个整体的认识，了解数学文化发展的规律，了解什么是数学的严格性和逻辑性及其所追求的目标，了解数学思想和数学方法的具体的呈现方式，了解数学的来龙去脉[10]5-6。

数学教育的目的是培养学生能够理解自然和洞察社会的能力，以及培养对这种能力所不可或缺的习惯，使学生可持续发展，用健全的心智来迎接未来社会的挑战。所以对于那些与养成这种能力无关的事情、方法、练习等等必须置于数学教学之外。用具体的事实、实际问题抓住数学的概念、方法、原理是大学数学教育的全部，是重点，是根本，是教师在教学中应该努力的方向。

二、融合各科数学知识，提高学生数学能力

数学的本质在于其实践性，不是计算技巧和数学方法的简单堆积；从自然现象或社会现象，去发现数学的本质，从实践中认识数学的法则。无论从数学的起源还是去向，数学都是一个有机整体。事实上，欧几里德的《几何原本》十三卷中，有三卷是算术；牛顿全集中的数学和物理也是融会贯通的。数学发展到一定时期，许多学者将数学分科，认为各有各的方法，各科从理论上展开颇有价值和兴趣。数学不仅在学术上分了科，且在教学上也按分科教学，使各科陷入割裂的局面。事实上，对于数学分科教学的弊端早有学者提出，其中最为著名的就是法国的布尔巴基学派，他们提出数学结构主义的理念，在这一理念的指导下，《数学原本》诞生了，这本7000多页的书是有史以来最大的数学巨著。

在我国数学教育仍然采用分科教学的模式，然而分科教学有着诸多的弊端，下面就这个问题加以讨论，并且给出在当前条件下如何在教学中克服分科教学产生的不利影响。

1.分科教学模式的不利影响

数学分科教学具有那些不利影响呢？下面我们就来讨论之。

第一，分科教学模式在某种程度上不符合前面提到的教学原则。首先在一定程度上不符合陈建功先生提出的‘实用性原则’。前面我们谈到，数学来源于实践，应用于实践，为解决各种实际问题而促使科学家不断地在数学方法上创新，是数学发展不竭动力。数学应用分为两个方面，一个解决工程技术中的问题，另一个是理论方面的应用。要使学生对数学产生兴趣一个重要的因素就是其在实际中的应用。然而分科教学会使教师不自觉地追求数学本身的完美而忽略数学自身存在的意义。另外，分科教学使得教科书在编写上尽力使该科目自成体系，突出本学科的作用，忽略与其他学科的联系，限制了学生思维的发展。再加上我国的数学教师自身在读书期间往往过分重视逻辑推理方面的修养，而其所掌握的数学在解决实际问题方面的案例少之又少，所以在教学过程中往往将数学的应用放在一个次要的地位，这就更加重了分科教学给教学结果带来的不利影响。其次，分科教学在一定程度上也不符合数学教学的‘心理的原则’。大学生已经步入成年，其思维可以分析和综合已知的信息得出自己的结论，然而分科教学使得学生被迫直线思考，断裂和其他知识的联系。一个典型现象就是学生只会利用现学的数学方法来做课后的题目，而不会思考其他的方法。

第二，分科教学在一定程度上削弱了数学教育的教学目的。数学教育的教学目的，从大的方面讲是培养学生理解自然和洞察社会的能力；具体而言是培养学生具有分析和理解“数量与空间”的能力。数学作为一门最为古老的科学，无论其如何发展，如何蔓延都有其自身的研究方法和研究目标，就其本身而言应该是一个整体。然而分科教学削弱了数学的这种整体性，致使学生每次只能从一个侧面来理解数学。从系统的角度来看，这种教学方法无法使学生全面地理解数学的整体面貌，只能片面或者是分块地理解数学的结构，其结果必然是削弱学生分析和理解“数量与空间”的能力，无法达到数学教学的目的。

第三，分科教学不利于学生将来从事科学研究工作。

在当今科学突飞猛进的时代，数学作为科学的语言和工具，对各个学科的发展起着重要的作用。数学不仅为其他科学的发展起到了工具的作用，同时其他科学的进展也给数学的研究不断提出新的挑战。这就是说，数学与其他科学的发展是相辅相承的，其他科学中有数学，数学中也是有其他科学的内容，这样的数学才是有血有肉的。所以在科学研究中，用数学作为工具或者武器的时候，常常需要数学的全般知识。如果学生在学习过程中已经理解并且掌握了数学的统一性，将来在走向科研工作岗位时必然对数学用的得心应手，方便快捷。例如在经济学中，几乎我们所知道的数学知识都有应用，这方面大家可以参阅《新帕尔格雷夫经济学大辞典》[3]。再如在生物信息学中，数学更是表现的淋漓尽致，不仅古典数学，就连近年来兴起的隐马氏模型、人工神经网络、支持向量机、小波分析、信息熵论都在生物信息中发挥着重要的作用[4]。

2.综合数学的教学模式的优势

综合数学是相对分科数学而言的。综合数学将数学看作一个有机的整体，从统一的原则来看待数学。很多学者认为可以将函数的概念用作统一的原则。著名的德国数学家克莱因就曾说过：以函数概念做中心，将它作为一切数学的核心，有计划的集中，就得综合的数学。他还认为：“在几何学形式的函数概念，是数学教育的魂魄”[1]。从大的方面讲，有人提出用代数的思维来贯穿数学的整体，同时将这种代数的思维延伸到几何和概率等领域[16]8-1，使数学各科不再是支离破碎片断和没有意义的符号，提倡“各种观点的综合和关联”，最终达到成熟的程度[18]。

综合数学的教学模式就是将数学作为一个有机的整体呈现给学生，使学生对数学有一个整体全面的了解，而不是将数学按照分科教学的模式传授给学生。综合数学的教学模式有如下的优点：

第一，避免学生片面地理解数学，使其更加系统地掌握数学体系。分科教学的模式导致学生只有在学完各个分支，且对数学的理解达到一定程度之后，才能领悟到数学的本来面目。

第二，综合数学的教学模式要求以学生为核心，教师与学生共同参与，合作学习。这种教学模式注重过程学习，是开放式的教学[8]78-81。同时还可以避免学习相同的内容，达到事半功倍之效。

第三，能够“爱护和保护学生的学习兴趣，启发学生学习的积极性”[7]35-37。相对于分科数学教学注重抽象训练来说，综合数学的教学模式更注重发生在“真实的情景”之中的直观教学，注重数学与现实相结合。在具体的数学教育教学实践中，更致力于数学逻辑推理和演绎推理，以本质的、真实的和现实的问题为基础，建立数学模型或模式的直观[12]7-10。

第四，符合数学教学的“三个原则”，即“实用性原则，论理的原则和心理的原则”。综合数学首先肯定数学的产生与归宿是其实践性，即数学来自实践，用于实践。这种模式下，可以使学生快速理解所学内容的来龙去脉，自然地将所学的理论应用于实践，提高学生的实践能力，缩短学习与应用的时间间隔。综合数学的教学模式还可以提高学生的推理能力，扩大学生的思维空间，培养学生的发散思维。另外，综合数学的教学模式也符合学生的认知观念，即符合“心理的原则”。综合数学的教学模式使学生全面系统地理解整个数学，呈现在学生面前的是一个完整的科学体系；而分科教学割裂学生的认知习惯，使学生被迫片面地理解数学，增加了数学的学习难度。

第五，有利于学生未来的科研工作。在科学的研究当中，数学是一种不可或缺的工具，往往需要多科数学知识，如果学生事先对数学整体有了全般的理解、有了统一的认识，工作起来就方便多了。

陈建功先生还指出“代数学中不用几何，几何学中不用代数、三角，如是独立门户，究有何益！”，他认为综合数学的教学模式不但可以使学生避免重复学习相同的内容，学习省时省力，而且可以使学生自然地理解生动的数学体系[1]。这可能是综合数学教学模式的最大优点。

三、渐进融合各科数学知识是提高学生数学修养的有效途径

数学分科教学是现今高等院校采用的主要模式。在分科教学中，教师往往只是重视所授课程的内容，不自觉地忽略它与其他相关课程的联系，误导学生以为数学处于各科分割的情形。前面我们已经分析，综合数学的教学模式有诸多好处，那么现今教育是否可以采用这种模式呢？然而由于分科教学由来已久，且和数学分科研究有着天然的历史渊源，在当今的高等教育中占据统治地位，所以要直接改为综合数学教学模式不是很现实。首先，综合数学教学模式目前没有成熟的教学体系和教科书，有待进一步研究和开发；另外，教学模式的改变必然给教育结构和教师提出新的挑战，势必带来一定的阻力。那么在现有的教学模式条件下，该如何降低分科教学不利影响，突显综合数学教学模式的优点呢？现在我们提出一种折中的办法，那就是“渐进融合各科数学知识”以便提高学生分析问题和解决问题的能力。下面内容将详细讨论这一教学思路，并以一个数学例子加以说明。

渐进融合各科数学知识就是在分科教学条件下，随着学生学习各门数学知识，任课教师要有目的地加强所教课程与学生已学课程的联系，有意在教学内容上突出数学的整体性，突出数学的实用性。这也是著名几何大师克莱因所提倡的“多学实际之例，熟练空间的知识和数学计算”[1]。

在教学中要融合各科数学知识，有以下几个要点：

第一，教师的教育理念、数学修养是至关重要的[11]。不仅要求教师对所授课程有充分掌握，更需要教师对数学的体系及各门课程有全面的认识和理解，否则无法达到让学生融合各科数学知识、提高数学能力的目的。可以看出，该教学模式对教师提出较高的要求，要求教师对各门数学知识有很好的理解，要有不断学习、勤于思考的习惯，不仅要不断地去学习数学中的新理论和新方法，关注本学科的研究和进展，同时也要关心其他学科的进展。

第二，在教学中加强几何直观对教学的积极作用。直观是思维的基础，抽象思维是建立在大量直观的基础之上的。在数学教育中，几何直观扮演着重要的角色，常常起到启发学生思考的作用，是将学生引向深层次思维的钥匙。很多抽象的定义、定理、等式、不等式都有着明确的几何意义，如果引导学生能够通过思考建立几何直观，无论是对知识的理解还是对知识的应用都有事半功倍的效果。因此，几何直观不仅提高学生的逻辑推理能力，还提高学生的应用能力。

第三，在教学中培养学生对所学知识的应用能力和勤于思考的习惯。分科教学往往割裂数学的各门知识。在学生的头脑中，数学的各门知识总处于割据的状态，没有一个统一的形式。为了改变这一状态，我认为应该加强学生所学知识的应用能力和培养学生勤于思考的习惯。对知识的应用不只包含课后练习，还要能够解决实际问题。这样的问题没有既成的方法，需要对所学知识的综合应用，学生必须深入思考、反复试验才可能得到比较理想的解决方法。

第四，在教学中注重数学的整体性。分科破坏了数学的整体性，削弱了学生对数学整体性的认识，从而削弱了学生对数学的理解和应用，所以应该在教学中重视学生数学整体性的培养。如同第一条所述，这就要求教师首先对数学的理解比较深刻，对数学有着全局的把握，而且在平时也要加强这方面的思考。

第五，建议数学教师要注重计算机技术的使用，最好能够熟练掌握一种以上计算机编程语言和计算软件的应用。由于计算机的出现，很多以前无法解决的数学应用问题得到了解答[5]，或者为很多问题的解决带来了希望，在数学教育领域也不例外，它对教育技术提高的作用是不可估量的。在我们提出的教学模式中提倡要十分重视计算机技术的应用，因为计算机不仅可以将数学可视化，变得更为直观，而且方便了数学思维和方法的模拟操作，能够增强学生对数学的理解水平和应用能力。在教学实践中，必须考虑到二者结合可能出现的问题与风险，以保证对教学过程起到促进作用，有利于师生的教与学[6]89-92。

结论和未来研究

目前的高等院校数学教育分科教学的现状，在一定程度上是使学生丧失对数学的学习兴趣，降低学生分析问题和解决问题能力的原因。本文分析了高等院校数学教育的原则和目的，指出数学分科教学对数学教育的不利影响和综合数学教学模式的积极作用，并提出在当今条件下，采用“渐进融合各科数学知识”的教学思路可以避免分科教学的不利影响，提高学生学习数学的兴趣和学习效率。

大学数学教育和中学数学教育具有一定的连续性，也应该遵循“实用性原则、论理的原则和心理的原则”，其教学目的是让学生通过学习数学能够具有认识自然和洞察社会的能力，以及为达到这种能力而在行动上养成良好习惯。分科教学在一定程度上违反了数学教育的原则和目的，另外它还在某种程度上削弱了数学的工具作用，割裂了数学的整体性和实践性，从而降低了学生分析问题和解决问题的能力。虽然综合数学的教学模式相对分科教学具有较大的优势，然而由于当前对综合数学教育模式缺乏系统的研究，没有现成的教育体系和切实可行的教科书，直接在高等院校内实行综合教学模式有相当的困难。因此我们提出了在教学中渐进融合各科数学知识的教学思路，一方面可以降低分科教学的不利影响，另一方面可以突出综合数学教学对学生学习数学的积极作用。同时我们还指出要实现这一教学形式需要注意的事项。为了更为简明地说明这一教学形式，我们还给出一个简单的例子，表明在教学中融合各科数学知识不仅使问题得到解决，而且加深对概念、方法和数学思想的理解，更为关键的是对客观事物的认识更为深刻，有利于激发了学生对数学的学习兴趣，提高他们学习数学、理解数学和应用数学的能力。

本文提出的在教学过程中“渐进融合各科数学知识”的教学形式，虽然从理论角度进行了较为详尽的分析，也举例说明了这一教学思路的积极作用，但是由于作者并没有采集到实际数据，使得本文略显不足。我们希望通过实践的摸索与检验，在未来对这一教学形式作更为深入的研究和讨论，探索这一教学思路对大学数学教育的影响。

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