有限元法在折叠纸盒强度分析中的应用

材料的环保性、可装潢性、可印刷性等其他包装不可替代的特性[1]，在物资流通和包装行业深受人们的青睐，广泛应用于食品、药品、化妆品、烟酒等日常生活用品的包装。尽管折叠纸盒不是运输包装容器，但作为一种“刚”性包装容器而言，折叠纸盒也应具有足够的强度来抵抗变形和破坏的力量，才能对商品提供足够的保护和便于销售时对商品进行陈列和展示[2]。

近年来，国内外学者对折叠纸盒的抗压强度进行了不少研究，王金林[3]论证了纸盒抗压强度和白板纸挺度的关系；Grangard[4]通过大量的试验确定经验公式BRDA式具有较高的相关性；余本农[2]根据瓦楞纸箱抗压强度公式推导出折叠纸盒的经验公式；刘慧和张新昌[5-6]研究了管式折叠纸盒的结构和几何尺寸对抗压强度的影响，并且探讨折叠纸盒抗压强度经验计算公式；袁毅等[7]研究锁底结构形式对纸盒承载力的影响。但以上学者的研究主要还停留在试验研究的基础上，由于试验的不稳定性以及各种尺寸折叠纸盒试验样品获取困难，要想更好地掌握折叠纸盒承载能力和抗压变形能力不能只停留在单纯的试验研究上，应该从原材料自身入手，结合理论与试验结论，借助于有限元分析技术来对折叠纸盒承载能力和抗压变形能力进行仿真模拟，不仅可以缩短实验周期，节约试验费用，还能够对纸盒各个部位作研究和讨论，更为直观地得到折叠纸盒各个部位的力学状态对包装性能的影响。

1 有限元法的概念

有限单元法最初是20世纪50年代作为处理固体力学问题的方法出现的，并随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。作为计算机辅助工程CAE的一种，使用它大大提高了产品开发、设计、分析和制造的效率和产品性能[8]。

有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，其基本思想是把一个连续的介质（或构件）看成是由有限数目的单元组成的集合体，并在每一个单元中设定有限数量的节点，在各单元内假定具有一定的理想化的位移和应力分布模式，各单元间通过节点相连接，并藉以实现应力的传递，各单元之间的交接面要求位移协调，利用弹性力学、固体力学、结构力学等力学中的变分原理去建立一套线性方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题，求解这些方程组，便可得到各单元和结点的位移、应力。简言之，就是用较简单的问题代替复杂问题后再求解，即化整为零分析，积零为整研究。对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，分为前处理、处理和后处理3个阶段，只是具体公式推导和运算求解不同。

2 有限元法在分析纸盒强度时要考虑的问题

2.1 研究参数的选取问题

根据理论分析可以得出，折叠纸盒的抗压强度受到纸板原材料性能以及纸盒的结构形式和结构参数的影响。纸板原材料性能包括纸板的环压强度、挺度、厚度和定量等，纸盒结构形式包括管式、盘式、管盘式和非管非盘式等，纸盒结构参数主要指的是纸盒的几何尺寸长、宽和高。对于研究纸盒强度问题，在单纯的试验研究时首先是确定纸板原材料和纸盒结构形式，然后对改变不同几何结构参数的纸盒进行测试，看纸盒是否满足强度和刚度的要求。

其实，纸盒的结构形式和原材料性能在很大程度上决定了纸盒的特点和工艺效果，提高纸板的挺度和环压强度，优化纸盒的结构和几何尺寸都可以提高纸盒的抗压强度，若是仅仅靠改变结构参数来研究纸盒强度性能，很难做到对纸盒抗压强度的系统化研究。而且目前对纸盒强度的研究主要是基于“设计—盒样—试验—修改”不断循环的优化过程模式，这样既麻烦又浪费大量成本。所以在基于有限元法研究纸盒各个参数的同时还应该考虑纸盒结构形式、原材料属性以及还未进行过研究的参数。另外，有限元模拟分析既可以针对某一参数变量的研究，也可以对多参数的交互作用进行研究，我们可以根据需要灵活运用。

2.2 有限元等效模拟分析问题

有限元法对纸盒压缩过程的数值模拟就是利用一定的方法，将结构和应力变化的复杂过程近似模拟出来，它包括结构静力学的计算和结构非线性的计算两部分。在有限元仿真模拟分析中，几何实体模型的建立及简化、单元类型的选取、有限元网格模型的生成、约束条件的设置和载荷的施加都显得尤为重要，它们都将直接影响到最终仿真计算结果的精确性。

（1）几何模型建立及简化问题

折叠纸盒的受力压缩过程是一个实际问题，考虑到压缩的复杂性和多样性对有限元分析计算结果的影响，必须对纸盒结构进行合理简化，把实际结构简化成计算模型，然后再利用有限元法来分析解决问题。为了方便有限元建模及计算，在不失真的前提下，对纸盒结构可做如下的简化处理。

①鉴于纸板原材料的特性，将纸板等效成一块正交各向异性的复合材料板；②忽略非承载件的影响，将纸盒的六个面板都看作是四边简支板，忽略纸盒上的小结构，如侧板上的襟片以及插舌等；③认为结构中的粘合是理想粘合，忽略襟片粘合不牢所引起的强度弱化问题。

由于纸盒结构规则，对纸盒结构进行合理简化之后，可以选择直接在有限元分析软件ANSYS中采用“自底向上”法建立模型。需要注意的是，简化一些无关紧要的细节能使分析求解尽可能地高效，但是随着襟片和其它一些细节被简化，在它们邻近区域内仿真模拟计算出的应力值可能不准确，导致该区域计算的结果不能反映真实应力。因此，可以考虑采用在模型中添加该细节重新计算、子模型法和外插值法3种方案对局部应力进行考察。

（2）单元类型选择问题

在有限元分析过程中，对于不同的问题，需要应用到不同特性的单元，ANSYS单元库中提供了超过250种的不同单元类型，每一种单元都是专门为有限元问题而设计的。因此，单元选择不当，直接影响到计算能否进行和计算结果的精度。根据纸板原材料的结构，由于纸板的厚度相对较薄，理论上可以将其简化为正交各向异性薄板。在薄板构件的有限元分析中，一般采用壳体单元或者三维实体单元进行分析。根据国内外一些研究资料和有限元分析数据，采用壳体单元对纸板结构进行分析可以获得足够精确的结果，并且采用壳体单元分析可以比采用实体单元分析节省大量的时间。

壳单元是为有效建立薄的结构而特别设计的单元类型，它用于主尺寸不小于10倍厚度的结构。ANSYS中提供了一系列壳体单元，常见的有：SHELL63、SHELL43、SHELL93、SHELL181等。其中SHELL181是一个4节点的四边形薄板壳结构，如图1所示，它含有I、J、K、L四个节点，每个节点含有6个自由度，即沿X、Y、Z方向上的三个平动自由度和绕X、Y、Z轴的三个转动自由度。它可以支持材料塑性、应力刚化、大应变，适用于从薄到中等厚度的薄板壳结构。因此，根据纸板本身特性和纸盒压缩的实际过程，为了获得更精确的模拟数据，建议选择SHELL181单元类型进行分析。

（3）网格划分问题

ANSYS的运算最终是通过有限单元法进行，因此对建立好的几何模型进行网格划分是ANSYS分析的一个重要内容。网格划分直接影响到计算结果的精度和计算速度，甚至会因为网格划分不合理而导致计算不收敛。目前对于网格划分，有两种划分方式：自由网格划分和映射网格划分，这两种网格划分方法各有优缺点。自由网格划分适合于初学者使用，划分耗时较少，而映射网格计算结果的精度一般要高于自由网格的计算精度。充分考虑到纸盒各部位的结构，可以采用自由网格划分和映射网格划分相结合的方法。对纸盒面板结构使用自由网格划分，在可能出现应力集中的位置或拟定的重点考察位置采用映射网格划分，使之能以较高的精度得到这些位置的应力，从而保证计算结果的精度。

另外，网格数量的多少影响计算结果的精度和计算分析时间，但并非网格划分的越细得到的结果就越好，因为网格太密太细，会占用大量的分析时间。为了考察网格划分的合理程度，在计算模型建立后进行试算，以考察模型精度，特别是重点考察区域的精度。对于纸板类结构，保证单元边长在lmm-2mm之间时基本都能取得理想的结果。

（4）约束与加载问题

建立纸盒有限元分析模型应当在每个坐标轴方向上至少给定一个约束，受约束节点的数量根据实际情况具体确定。定义约束条件是一个容易产生较大误差的地方，纸盒的约束是根据其具体结构确定的。纸盒的压缩试验是在上下两块光滑的压盘上进行的，显然压盘的刚度比纸盒大的多，上压盘以缓慢的速度加载，最后将纸盒压溃。当纸盒在水平压盘上加载受压时由于摩擦力的作用与上压盘接触的纸盒面板只会沿竖直方向被压缩，而与下压盘接触的纸盒面板相当于被固定在水平的压盘上，不会有水平的滑动也没竖直方向的压缩。故对纸盒施加约束时，应将纸盒受压时的边界约束条件等效化，根据纸盒的受力以及实际破坏情况，纸盒面板与上下压盘接触的各节点竖向位移耦合，与上压盘接触的各节点竖向位移耦合，施加共同向下的位移，下压盘固定不动，对与下压盘接触的各节点的所有自由度施加约束，即对纸盒模型的四个侧板的底部进行约束，保证这些部位的节点不发生平动或转动。

在ANSYS分析中，载荷包括边界条件和内外部的作用力函数，在不同的分析领域中具有不同的表征，为了真实地反映实际物理情况，将载荷分为自由度约束（DOF）、集中力载荷、面载荷、体载荷、惯性载荷以及耦合场载荷等。载荷可以直接在实体模型上加载，如将载荷施加到关键点、线或者面上；也可以在有限元模型上加载，即直接将载荷施加到节点和单元上。这两种方法各有利弊，但无论选用何种途径加载，程序都会自动将这些载荷转移到有限元模型上。在纸盒压缩过程中，纸盒面板主要承受压盘施加的作用力，为了模拟实际压缩情况，应该选择在纸盒上加一个刚体，最后在刚体上施加一定载荷。

（5）非线性求解问题

纸盒的受力压缩过程是一个囊括了材料、状态、几何三种非线性问题的复杂受力过程。材料非线性是指纸板原材料的应力-应变关系引起的非线性行为，而且是不可逆转的；状态非线性是指纸板压缩后引起的接触问题；几何非线性是指纸板在压缩的过程中其变化的几何形状引起的非线性响应，属于大应变类型。作为复杂的非线性分析，涉及到求解器的选择、载荷步长的选取、子步数的设置、迭代收敛准则、自动时间步长等许多非线性因素，求解设置比较复杂，若处理不当就会造成分析结果不收敛或者分析中断等情况出现。因此，为了保证模拟计算的顺利实现并获得准确的计算结果，在前期求解设置时可以针对不同情况进行多次试算，以获取最佳的求解设置参数，特别是控制好平衡迭代及收敛准则之间的关系。

结语

近年来，随着计算机技术、现代力学和计算数学的发展，有限元法作为一个具有坚实理论基础和广泛应用效力的数值模拟分析工具，在包装工程领域方面的应用越来越多。包装设计及研究人员将这种技术引入到研究包装材料的系统中，不仅提供了一种新的研究思路，而且有效地提高了工作效率，降低了包装设计成本。但目前情况下，有限元法在纸类容器强度研究方面还不够成熟，尤其是折叠纸盒抗压强度的研究。由于受纸板原材料特性的制约，尚未有用于纸板压缩应力分析评定的系统方法，这样就不能区分出应力的类型，造成有限元法不能对应力进行进一步分析，得出的结论可能对纸盒结构的优化提供不了更加可信的科学依据，因此，这些方面还有待进一步的研究与发展。

总之，有限元法为包装设计及研究人员提供了更为直观更加快捷的研究手段，通过使用有限元分析的方法我们就能够建立起纸盒的有限元模型并研究和分析它的力学特性。可以乐观地估计，在不远的将来，有限元方法将非常广泛地应用到纸盒强度的研究领域，它将推动计算机辅助分析在包装工程方面的应用向更高的水平发展。

参考文献

[1]段瑞侠，刘雪莹，陈金周.纸盒结构设计中要考虑的几个要素[J].包装工程，2008（12）.

[2]余本农，平幼妹等.关于折叠纸盒抗压强度的讨论[J].包装工程，2002（1）.

[3]王金林.纸盒抗压强度与白板纸挺度[J].包装工程，1989（1）.

[4]HAKAN Grangard，JOSEF Kubat. Some Aspects of the Compressive Strength of Cartons[J].Svenak Papperstiding，1969（15）.

[5]刘慧，张新昌.折叠纸盒结构及其尺寸对抗压强度的影响[J].包装工程，2008（5）.

[6]张新昌，刘慧.折叠纸盒抗压强度经验计算公式的探讨[J].包装工程，2008（10）.

[7]袁毅，肖颖喆等.折叠纸盒锁底结构承载力实验研究[J].包装工程，2014（7）.

[8]李晓丽.蜂窝纸板静态压缩力学性能仿真研究[D].淮南：安徽理工大学，2011.

[9]孙诚.包装结构设计[M].第4版.北京：中国轻工业出版社，2014.

[10]张朝晖.ANSYS12.0结构分析工程应用实例解析[M].北京：机械工业出版社，2010.