浅谈高中阶段的初等数论问题

【摘要】本文对高中阶段出现的所有整除和余数问题进行了归纳总结，利用数学归纳法、二项式定理和算法等一系列的知识点处理了这些数论问题。事实上数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。

【关键词】初等数论 整除 余数 高中阶段

初等数论是研究整数最基本性质的一门十分重要的数学基础课程，而其中的整除与余数则是初等数论的两个最基本的概念。虽然在高中阶段关于这一块的内容出现等不多，但我们其实已经累积了很多的数论知识和解决数论问题的方法。我们在高一一开始集合内容的学习中规定了用Z表示整数集合，并且运用中、小学所学到的知识我们还知道任意两个整数的和、差、积仍是整数，即整数集对加、减、乘法运算封闭。但是两个整数相除，其商不一定是整数，即集合Z中一般不能作除法。设a和b为整数，b≠0，则a/b不一定为整数，即不一定存在整数c，使a=bc。则此时就出现了余数的概念。

带余除法定理：设a ，b 是给定的两个整数，且b≠0，则一定存在唯一的整数q和r，满足a=bq+r ，0≤r<|b|称q和r分别为被除数a除以除数b的商和余数。它是初等数论中最基本、最直接、最重要的工具。

当r=0时，称b整除a，记作b|a，并称a是b的倍数，b是a的约数（因数）。

当r≠0时，r就称a被b除的余数，记作r=Mod（a，b） 。

在研究了以上初等数论中的整除和余数的相关概念含义和符号表示后，接下来本文会从高中课程中选例，介绍用高中阶段所学的知识点去解决一些数论问题。

一、用数学归纳法证明整除问题

例1.是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n，都能被m整除，若存在，求出最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由。

解：f（1）=（2+7）·3+9=36，f（2）=（4+7）·9+9=108，f（3）=（6+7）·27+9=360，…猜想：f（n）能被36整除。用数学归纳法证明如下：

（1）当 时，n=1 ，f（1）=36能被36整除。

（2）假设当n=k（k∈N*）时， 能被f（k）=（2k+7）·3k+9能被36整除。

那么，当n=k+1时，f（k+1）= [2（k+1）+7]·3k+1+9=[（2k+7）+2]·3.3k+9=3[（2k+7）·3k+9]+18（3k-1-1）。由归纳假设，3[（2k+7）·3k+0 能被36整除，当k为正整数时，3k-1-1为偶数，则18（3k-1-1）能被36整除。所以3[（2k+7）·3k+9]+18（3k-1-1）.能被36整除，这就是说当 n=k+1时命题成立。由（1）、（2）知，对任意n∈N*，f（n） 都能被36整除。当m取大于36的正整数时，

f（1）=36不能被m整除，所以36为最大，即 m=36。

点评：本题是与正整数 有关的整除问题，用数学归纳法证明整除问题，关键在于证明当n=k+1成立时，如何是25的倍数，故2n+2·3n+5n-4（n∈N*）能被25整除。

点评：同上题类似，在用二项式定理证明整除问题时，关键也是在于转化为二项展开式来研究，务必注意在展开式中必须有除数的倍数，当然本题也可以用数学归纳法来证明。

三、用算法确定最大公约数

例3.写出求两个正整数a，b （a>b ）的最大公约数的一个算法。

求 a，b （a>b ）的最大公约数的算法：

S1 输入两个正整数a ，b；

S2 如果Mod（a，b）≠0，那么转S3，否则转S6；

S3 r←Mod（a，b） ；

S4 a←b ；

S5 b←r，转S2；

S6 输出b。

点评：在研究本问题的时候就必须理解欧几里得辗转相除法的基本思想和步骤：给出一列数：a，b，r1，r2…，rn-1 ，rn，0.。这列数从第三项开始，每项都是前两项相除所得的余数，余数为0的前一项rn即是a和b的最大公约数。

本文对高中阶段出现的所有整除和余数问题进行了归纳总结，利用数学归纳法、二项式定理和算法等一系列的知识点处理了这些数论问题。事实上数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。因此，解决数论问题的方法多样，技巧性高，富于创造性和灵活性。相信对于今天所研究的这一类整除和余数问题在同学们进入大学后可能还会有一些其他的好方法去处理它，在真正接触了初等数论后就会感觉它的无穷魅力了。

参考文献：

[1]杨慧.高中数学教学的“问题链”设计研究[D].上海师范大学.2012.