数学为什么是美的？

数学的至纯至美

微分几何之父、世界级数学大师陈省身说，他一生只会做一件事，就是数学。天下美妙的事情不多，数学就是这样美妙的事之一。所以陈先生制作的向公众普及数学知识的挂历就取名为“数学之美”。

1975年，诺贝尔物理奖得主杨振宁在领悟了陈省身-韦伊定理后，在内心深处产生了触电般的感觉，客观的宇宙奥秘与纯粹用优美这一价值观念发展出来的数学观念竟然完全吻合，那真是令人感到悚然。这种感受恐怕和最高的宗教感是相同的吧?因为杨振宁与陈省身在不同的科学领域研究了二十多年，最后在结论上竟然天下归一。对此，杨振宁到陈省身家当面问道：数学家为什么会凭空梦想出这些概念?

陈省身的回答既是简洁的，也是实在的：“不，不。这些概念不是梦想出来的，它们是自然的，也是实在的。”

如果只是从表面上看数学，那当然只是一些纯理论的枯燥的演绎与推理。在数学家看来至纯至美的东西，在外人看来如同天书，艰涩难懂。但是，如果把这些纯粹的理论与公式放到现实中一个个活生生的事件和原理中去理解，就容易看清它的至纯与至美。正如一个人体标本，人们只会看到纯粹的骨骼、神经、血管和肌肉，如果不与活生生的人的运动与行为结合起来，这些骨骼、神经、血管和肌肉所表现的美，如力量、速度和造型等，就不会被人们所理解。

所以，理解数学的美需要载体，这些载体就是一些鲜活的事件、事实与行为。而这样的数学之美其实是蕴藏于人类和生物生命中的一种自然之美和效率之美。

“旅行推销员问题”的数学之美

很多人在工作之初都有过当推销员的经历。如果你要从北京出发，经过上海、长沙、武汉、福州、青岛和广州等七个城市推销自己公司新发明的一种产品，这时你就得首先计算和设计以什么样的方式经过这七个城市的路程最短。当然顺序无关紧要，乘火车还是乘飞机也不太重要，关键是要找到一条最经济的路线，既不重复，又要经过各个城市。

这可能是一个很简单的问题，但也是一个很复杂的问题。也许你计算一天也不一定能算得出来。这个问题就是意大利数学家孟戈尔(Menger)于1930年首次提出的，也是现代数学上的一个重要问题，即旅行推销员问题。这个数学问题的实质是，找出一条走遍所有城市的路线，使总的旅程达到最小，也就是最节约成本和开支的旅程。如果要求一个推销员在短短的半天或一天时间内做出最佳选择，那是完全不可能的。

其实，要计算这样的最佳路线，只需要利用我们生命密码的排列形式就可以很简单地算出。

旅行推销员问题实质上也就是今天的DNA计算机的雏形，其特点之一是随着城市节点数的增加，运算步数呈指数增加。而DNA计算机却可以将城市节点数与运算关系转化为线性关系。这也正是数学概念既存在于现实，也存在于生命内核中的具体体现。

数学美在自然中的体现

0．618只是一个数据，但又被人们称为黄金分割。谈到它的来源，必然是枯燥的，甚至是难以理解的。但是，如果把这个从无数事实中提炼出来的，同时又是从一套符号系统中推演出来的规律放到现实生活的具体事件中，就会体现出至纯至美来。

早在古希腊和罗马时代，一些画家和艺术家就发现，如果把数学中的一定比例关系引入到艺术领域会使绘画和其他艺术品变得更和谐、更美丽。比如，人们觉得，长方形要比正方形美，而在长方形中，宽与长的比例在5∶8左右会更美和更好看。因为它们的比例比较和谐，当然最能体现美的比例关系就是黄金分割，即0．618。之所以叫它黄金分割是因为由这个比例形成的东西、事物在感觉上是较美的，在功能上是较完善的，在资源配置上是较优化的，在效率上是较高的。

向日葵的外形就包含了这样一种黄金分割的原理。向日葵的花盘上有一左一右的螺旋线，每一套螺旋线都符合黄金分割的比例。如果有21条左旋，则有13条右旋，总数为34条。13与21的比值恰好是黄金分割的比值0．618。此外向日葵的花盘外缘有两种不同形状的小花，即管状花和舌状花，它们的数目分别是55和89，它们的比值也恰好是0．618。

为什么向日葵有这种外形的黄金分割呢？这是为它们吸收阳光的机能设计的。只有在这种黄金分割的分布下，向日葵才能让每一片叶子、枝条和花瓣互不重叠，从而最大限度地吸收阳光和营养，进行光合作用。不仅向日葵如此，许多植物和花木都如此。其实这种最优化的功能也是最美的表现形式。

我们所居住的地球环境同样可以说明数学之美。地球表面的纬度范围在0~90度，如果对其黄金分割，则34．38至55．62度是地球的黄金地带。在这一黄金地带，全年的平均气温、日照时间、降水量、相对湿度等都是适于人类生活和植物生长的地区。而从这一地区分布的国家来看，世界上许多发达国家都在这一地区。排除社会、历史和制度等各种社会和人为的因素，自然的黄金分割是不能否认的原因之一。

在生命中体现美

黄金分割这一数学定理与生命、生长发育、健康、疾病、衰老和死亡等有着千丝万缕的联系，有时甚至是生命内在形式的基本规律。遵循黄金分割也就是获得了健康的法宝，同样也是生命美的体现。

人体符合0．618的分割，人们会获得协调与美的感观。而感觉是一种心理过程和行为，必然要以生理功能作为基础。因此黄金分割的平衡自然与健康有联系，或者说生命形式必须遵循黄金分割律。

由于人是温血动物，因此必须处于一定温度下，生理功能才能维持和发挥得最好。尽管人们可以通过增减衣服来保持人体的基本温度，但是根据黄金分割的原理，人总是在某种特定数值的温度下感觉最好、最舒服，因而生理功能也能发挥得最好。人体的正常温度是摄氏37度，如果乘以0．618，则为22．87度，因此人在摄氏23度左右的环境下感觉最舒服，精神最饱满。

实验表明，人处于这种温度下，机体内的新陈代谢和各种生理功能处于最佳状态。比如各种酶的代谢、人的消化功能、人体的免疫功能等都很好。这也是为什么人们总是感到平均温度在23度左右的秋季是最好的季节的原因之一，也是为什么绝大多数重大的运动会选择在秋季召开的原因之一，因为运动员在这样的温度下最容易出成绩。这样的温度符合人生存所需温度的黄金分割。按美学家对美的解释，实用和舒适(快感)即是美，人在23度环境下感到最舒适，因而同样也是最美。

所以，证明数学是美的可以有一千个理由，因为它是各种现代科学的基础。比如，三百多年前牛顿力学是同微积分一起诞生的；一百多年前电磁波是从麦克斯韦方程解出来的；20世纪黎曼几何学为广义相对论准备了现成的工具；群论则为原子结构、核结构和基本粒子结构做出了决定性的贡献；而从1969年以来的诺贝尔经济学奖中，有一半人的获奖与其数学贡献有关。

但是，要看到和感觉到数学是美的，需要我们从承载它们的现实中活生生的事件中寻找。只有具体的事物，结合人们的信赖、思考、感悟、想像甚至热爱，才能在某些时刻把一个大幕拉开，让大幕后面被掩盖的、无法形容的、美好的、闪闪发光的东西显现出来。

（刘谊人摘自《百科知识》2005年第3期）