图示法教学在线性规划建模过程中的应用

[摘要]线性规划建模问题在运筹学课程中占有越来越重要的地位。本论文首先提出了利用图示的方法辅助教学的思路,然后结合实际的运筹学题例解释了网状图示和时间轴图示在运筹学教学过程设计以及解析题目的过程。最后说明了利用多媒体教学进行图示需注意的两个关键问题。

[关键词]线性规划;建模;网状图示;时间轴图示;多媒体

[中图分类号]G642.41[文献标识码]A[文章编号]1005-4634(2010)05-0045-04

线性规划是运筹学规划论中的基础理论,是解决稀缺资源最优分配的有效方法,在教学过程中,主要以建模和求解两部分内容为核心。传统的运筹学教学内容始终以求解原理和求解过程为重。由于线性规划问题的求解方法(主要方法指单纯形法)已经程式化,完全可以使用软件求解,因此教学模式的重心必须偏移。特别是在经济管理专业的运筹学教学中,只有使学生掌握建模方法和思路,然后直接应用现有的软件去求解,才能使学生学有所用,实现线性规划理论的工具功能[1]。

线性规划问题数学模型的建立需要学生具有分析实际问题的能力和一定的创造性。将相对复杂的经济问题转化成线性规划数学模型常常使学生在课堂上不能及时理解,课下还要花很多工夫去反复思考。笔者在经济管理专业运筹学的教学过程中发现,使用图示法有助于学生迅速掌握建模思路和方法,同时增强其利用线性规划理论解决实际问题的能力。

1图示法教学思路

图示法,是指在讲解问题的过程中使用图形的形式,表达问题的实质和讲解者思考问题的思路,使听众通过图形形象借助视觉迅速感知并理解,从而提高讲解者讲解效率的一种方法。其中图形的选择和设计是图示法表达问题的关键。有很多图形已经成为某些学科在讲解中必不可少的、成型的图示工具,例如技术经济学中利用现金流量图来分析资金的流入流出就具有相当成熟和有效的解释力。

图示法的教学思路主要可以分成三个步骤。第一,用语言直接进行题目阐述。这个步骤的目的是让听者能够大概了解题目所涉及的现象和问题的主要内容,有哪些已知的信息,有哪些未知的信息。有时候可以根据题目要求直接说明需要解决的问题有哪些。第二,让听者思考的同时,重新使用图形再次描述题目所涉及的现象和内容的实质,这时,对题目描述应更注重其逻辑性,并将主要现象和次要现象分开。第三,根据图形,寻找解决问题或现象内容的关键,从而做出结论。有时,还可以利用图示引出新的问题。

2线性规划建模时两种典型的图示方法

在教学过程中,建立线性规划数学模型时有三个关键问题需要重点解决。其一,决策变量应当如何选择,选择几个;其二,约束方程共有几个,如何找到;其三,目标函数如何表达。利用图示法有助于辅助学生解决以上问题。

目前,在运筹学教材和教学中,线性规划的建模程序和方法并没有使用图示法的先例。于是,不同教师讲解时的技巧和对学生思维的引导就成为决定理解和运用这部分理论的关键问题。根据以往的教学经验,线性规划的典型应用范围体现在生产计划问题、储运问题、投资问题、排班问题、运输问题等几个方面,笔者认为这些不同种类的建模问题都可以用图示法来辅助讲解,其中网状图示和时间轴图示是其中两种较典型的图示方式。

2.1网状图示

网状图示适用于产品生产计划、运输问题等,如果问题涉及加工路线、送货路径时,用网状图示表示较为方便,并易于理解。网状图与网络图相似,由箭线、线段及结点所构成。通常所有箭线组成的路径的数量即为线性规划问题中需要设定的决策变量的数量。

例1某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品,都分别经A、B两道工序进行加工。设A工序有两台设备A1和A2,B工序有三台设备B1 、B2和B3。已知产品Ⅰ可以在A、B两道工序中的任何一台设备上进行加工;产品Ⅱ可在A工序的任何规格的设备上加工,但完成B工序时,只能在B1上加工。产品Ⅲ只能在A2与B2设备上进行加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据见表1,试安排最优生产计划,使该厂获利最大[2]。

这是典型的产品生产计划问题,适合用网状图示方法来辅助建模。

本例中,学生会自然想到决策变量为三种产品分别生产的数量。但由于生产三种产品可能的路线不同,需要对三个变量进行分解。如何分解呢?用图形表示如下(见图1)。

1)决策变量的选择。在图1中,可以清晰地回顾和解释题目中所描述的两种产品必须经过的生产工序和可能利用的设备情况。A、B两道工序的箭线数量就是分解之后的决策变量数量。由于产品Ⅰ的加工路线可以有六种,因此,决策变量可以分解成六个变量;产品Ⅱ的加工路线有两条,决策变量可以分解成两个变量;产品Ⅲ只有一条加工路线,所以无需分解。

2)约束方程的寻找。在表1中,可以分析出约束方程有五个,均属于设备的台时约束。当考虑设备A1的台时利用方程时,通过图1可以看出,设备A1的台时约束方程涉及的决策变量包括、、,于是可以很容易地列出设备A1的台时约束为:。当考虑设备A2台时约束方程时,所涉及到的变量包括、、、,,同理,其它三台设备的台时约束可知(略)。

3)目标函数表达。本例中决策目标是寻求获利最大的方案。此中,通过上述决策变量的分解及设备台时利用的数学表达式的确定,很容易根据销售收入扣除原材料费和设备加工费从而获得利润的函数表达式。

2.2时间轴(或时间轮盘)图示

时间轴图示适用于排班、连续投资等与时间相关的线性规划问题。其中,时间的变化是决策者决策的关键因素。对于循环型时间可以采用时间轮盘表示,例如昼夜轮班的排班问题就可以使用时间轮盘描述。涉及非循环时间问题,可以使用时间轴来图示。

例2连续投资10万元,有四个投资项目A、B、C、D可供选择。A项目从第1年到第4年每年初可以投资,次年末回收本利1.15;B项目第3年初投资,到第5年末回收本利1.25,但最大投资额为4万元;C项目第2年初投资,到第5年末回收本利1.40,最大投资额为3万元;D项目每年初投资,每年末回收本利1.11。如何投资可以使第五年末总资本最大[3]。

本例题中决策变量取决于四个项目的投资机会,与示例1相比资源约束不太明显,需要使用时间轴图示法来辅助建模。

本例中,可以借鉴技术经济分析中现金流量图的做法来设计时间轴图示,见图2。其中每个项目的投资与回收情况用一个时间数轴来表示。轴上数字代表每一年的年初同时代表下一年的年末。例如2代表第二年年初,第三年年末。投入资金用向下的箭头表示,投出资金用向上的箭头表示。因为投入的资金量待定,所以箭头的长短并不代表投入资金的多少。图中虚线代表回收的资金的来源。例如,在A项目中,第三年年初获得的资金回收来源于第一年的年初投入的资金。

1)决策变量的确定。由图2可知,所有的每年年初的投资机会都表现在向下的箭头上。决策者要确定在有这些投资机会的情况下,分别应当投入多少资金。于是,所有的决策变量的设定如图3所示。

2)约束方程的寻找。本例中,明确的约束包括B、C两个项目的投入最高限制和第一年年初的投入资金限制,可列出方程:,, 。

而第2年到第5年年初投资时的资金限制往往容易被学生忽略,属于不明显的约束。利用图2,可以很容易的找出约束方程的表达式。第二年年初的资金(见图2中向下的箭头)有三个投资机会,即A、C、D项目投资总额为,第二年年初(第一年年末)时获得的资金总量(见图2中向上的箭头)就是本年初可能投入的最多资金。本年初获得的资金可以表示成(图中的虚线表示资金回收的源头,即只有D项目在第二年年初回收了第一年初投入的资金及利息)。

因此,其约束方程为,同理,第3、4、5年年初的约束方程为 。可见,图2使题目思路清晰而易于准确列出数学表达式。

3)目标函数的表达。第5年末(即第6年初)的资本总额可以来源于四个项目。由图2中虚线的连接端点可知,第五年末项目A可能获得的资本回收来源于第四年年初的投入,资金回收额表达式为。同理,其它项目资本回收额的表达式分别为。目标函数为可以写成。

3图示法教学过程的实现

图示法教学可以结合传统的教学方法由教师讲解的同时手动画出。在计算机技术飞速发展的今天,通过使用电脑设计图形的多媒体教学既可以完美的呈现手动画图并讲解的优势[4],又可以消除手动画图慢、乱、色彩有限等不足之处,还可以利用多媒体制作工具创造性地表现图形。同其他多媒体课件内容的制作方法一样,使用图示法教学要特别注意以下两点关键问题。

3.1图形放映顺序

图形放映顺序应当遵循教师导引学生的顺序依次放映。以本文中图1为例,根据题意,教师可以先放映两道工序设备的图片,然后放映产品所有可能的加工路线,继而说明设定决策变量的方法同时将决策变量的设定显示在屏幕上。最后就可以借鉴屏幕显示的内容引导学生进行建模。

3.2互动性效果的设计

由于运筹学建模的思维可以培养学生的逻辑思维能力,在教学过程中需要与学生互动才能达到上述目的。因此,在多媒体设计中教师一方面要注意随时向学生提问,另一方面对课件的设计提出了较高的要求。例如课件图片色彩要和谐,切忌颜色杂乱;对于动画出现的方式以及插入的图片、符号、图形等要以对学生的观感不产生喧宾夺主的原则为依据进行设计。

参考文献

[1]董振宁,刘洪伟.管理类专业运筹学教学存在的问题及对策[J].中山大学学报论丛,2006,26(1):32-35.

[2]胡运权.运筹学教程[M].北京:清华大学出版社,2003:41.

[3]钱颂迪.运筹学[M].北京:清华大学出版社,1990:42-43.

[4]陈敏林.多媒体辅助教学课件与课堂教学[J].中国电力教育,2006,(s4):407-408.