LINGO软件在线性规划案例教学中的应用

【摘 要】针对线性规划学习的特点，结合具体案例，说明了在线性规划案例教学中借助LINGO软件可省去繁琐的计算，提高学习效率。

【关键词】LINGO；线性规划；案例教学

0 引言

运筹学是近几十年发展起来的一门新兴学科。它是用数学方法研究各种系统最优化的学科。应用运筹学的目的是通过求解系统最优化问题，从而为决策者制定合理运用人力、物力、财力的最优方案[1]。运筹学已广泛应用于工业、农业、交通运输等各个领域。线性规划作为运筹学的一个重要分支，是研究最早、理论较完善、应用最广泛的一个学科。它所研究的问题主要包括两个方面：一是如何以最低的成本去完成一项确定的任务；二是如何在现有资源条件下进行组织和安排，以产生最大收益。线性规劃不仅仅是一种数学理论和方法，而且已成为现代管理工作中帮助管理者作出科学决策的重要手段[2]。

传统的重理论轻实践的课堂教学，使得运筹学这门原本源于应用的科学又远离了应用。由于教学中脱离了具体的情景，大部分学生在学完了线性规划这部分内容后，印象就是单纯形法很复杂，对偶理论很抽象，遇到具体的问题时都不知该如何“运筹”。采用案例教学以强化实践教学，是当下教学改革的一个重要方向。由于实际案例规模较大，计算量大且繁琐且学生计算机编程能力不强，在案例教学可采用运筹学软件辅助教学。

1 LINGO软件简介

目前常用的运筹学软件有LINGO/LINDO，WINQSB、MATLAB、EXCEL 等。LINGO软件是美国的LINDO系统公司（Lindo System Inc）开发的一套用于求解最优化问题的软件包，可用于求解线性规划、二次规划和非线性规划等问题。由于其输入模型简练直观；执行速度快，计算能力强；内置建模语言，对编程能力要求不高，便于掌握等优点，深受用户欢迎[1]。

2 案例分析

由于学生在学习线性规划时，普遍感觉公式多，定理多，运算复杂，不能很好地运用线性规划和对偶理论来分析、解决实际问题。下面结合具体案例，说明线性规划及相关知识在解决实际问题时的应用。

案例1[3]某公司正在制造两种产品，产品I和产品Ⅱ，每天的产量分别是30个和120个，利润分别为500元/个，和400元/个，公司负责制造的副总经理希望了解是否可以通过改变这两种产品的数量而提高公司的利润。公司各个车间的加工能力和制造单位产品所需要的加工工时，如1表所示。

（1）假定生产的全部产品都能销售出去，确定使得总利润最大的生产方案。

（2）在（1）所求得的最优产品组合中.在四个车间中哪些车间的能力还有剩余？剩余多少？这在线性规划中称为剩余变量还是轮弛变量？

（3）四个车间能力的对偶价格各为多少？即四个车间的加工能力分别增加一个加工工时数时能给公司能带来多少额外的利润

（4）当产品I的利润不变时，产品Ⅱ的利润在什女范围内变化，此最优解不变？当产品Ⅱ的利润不变时，产品I的利润在什么范围内变化时，此最优解不变？

（5）当产品I的利润从500元降为400元，产品Ⅱ的利润从400元增加为430元时，原来的最优产品组合是否还是最优产品组合？如有变化，新的最优产品组合是什么？

上述案例是一个非常典型的企业的生产管理案例。如果单纯用人工计算来分析这个案例，计算非常繁杂，不仅耗时，而且很容易因计算错误得出错误结论。引入LINGO软件来帮助进行案例分析，则起到事半功倍的效果。

根据题意，假设制造产品1、产品2的数量分别为x1、x2，在LINGO模型窗口中输入模型如图1所示：

从LINGO菜单中选择Solve按钮，得

在求解该模型之后，可进一步激活灵敏度分析功能，对模型进行灵敏度分析。激活灵敏度分析的方法有两种，一是运行工具栏中依次选择LINGO—options—General Solver—Dual Com-putations—Prices&Ranges；二是在Window|Command Window窗口中输入“：range”。灵敏度分析结果如图3所示。

结合线性规划求解结果和灵敏度分析结果，即可解答案例1中的5个问题。

（1）图2的报告说明：运行1步找到全局最优解，目标函数值为103000，变量值分别为x1=150，x2=70。即制造产品I150个，产品Ⅱ70个为最优生产方案，此时可获得最大利润103000元。

（2）“Row”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack or Surplus”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“？燮”的不等式，右边减左边的差值为Slack（松弛），对于“？叟”的不等式，左边减的右边差值为Surplus（剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零。由图2报告中Row2、 Row4的“Slack or Surplus”均为0，，表明制造产品I150个，产品Ⅱ70个市，车间1、车间3的生产能力已经饱和；报告中Row3、 Row5的“Slack or Surplus”分别为“330，15”，，表明制造产品I150个，产品Ⅱ70个时，车间2、车间4的生产能力分别剩余330小时和15小时，是松弛变量。

（3）“Dual Price”的意思是对偶价格，由图2的求解结果表明，四个车间的对偶价格分别为50，0，200，0。即四个车间的加工能力分别增加一个加工工时数时能给公司能带来额外利润分别是50元，0元，200元，0元。

（4）灵敏度分析报告表明，当产品I的利润不变时，要使最优解不变，产品Ⅱ的利润允许增加量（Allowable Increase）为100，允许减少量（Allowable Decrease）为400，从而有产品Ⅱ的利润应在（400-400，400+100）内变化；同样可得，当产品Ⅱ的利润不变时，产品I的利润在（400，+∞）范围内变化时，此最优解不变。

（5）LINGO中线性规划的灵敏度分析结果都是基于“其他系数保持不变，只有一个系数发生变化”这样一个重要假设的。两个价值系数同时变化的情况可在LINGO的灵敏度分析的基础上，用百分之一百法则[3]进行分析。当产品I的利润从500元降为400元，产品Ⅱ的利润从400元增加为430元时，经计算，得c1的允许减少百分比为：×100%=25%；c2的允许增加百分比为：×100%=43%。25%+43%=68%<100%，故原来的最优产品组合是否还是最优产品组合。

3 结语

在线性规划的案例教学中应用LINGO软件，能把师生从繁琐的数学运算中解放出来，有效激发学生的学习兴趣，提高学习效率。

【参考文献】

[1]陈华友.运筹学[M].北京：人民邮电出版社，2015.

[2]焦宝聪，陈兰平.运筹学的思想方法及应用[M].北京，北京大学出版社，2007.

[3]韩伯棠.管理运筹学[M].四版.北京，高等教育出版社，2015.

[责任编辑：田吉捷]