【2019-2020年高三上学期第一次调研测试数学（理）试题（解析版）】2019高三期末考试

2019-2020年高三上学期第一次调研测试数学（理）试题 一、单选题 1．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据集合的交集运算即可求解。

【详解】 ， 故选：D 【点睛】 本题考查集合的基本运算，属于基础题。

2．函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三角函数的最小正周期，即可求解。

【详解】 ， 故选：B 【点睛】 本题考查求三角函数的周期，属于基础题。

3．已知向量，则（ ） A．-8 B．4 C．7 D．-1 【答案】A 【解析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 故选：A 【点睛】 本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 4．已知奇函数当时，，则当时，的表达式是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设x<0，则−x>0，又当x>0时,f(x)=x(1−x)，故f(−x)=−x(1+x)， 又函数为奇函数，故f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即f(x)=x(x+1)， 本题选择C选项. 5．若数列满足：且，则（ ） A． B．-1 C．2 D． 【答案】B 【解析】首先由递推关系得出、、、且数列的周期为即可求出. 【详解】 由且， 则，， ， 所以数列为周期数列，周期为， 所以 故选：B 【点睛】 本题考查数列周期性的应用，属于基础题. 6．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本道题化简式子,计算出,结合,即可. 【详解】 ,得到,所以 ,故选C. 【点睛】 本道题考查了二倍角公式,难度较小. 7．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到， 再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象， 即， 由， 得， 当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；
由可得对称轴方程；
由可得对称中心横坐标. 8．已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据平面向量的共线定理即可求解。

【详解】 由三点共线，则、共线， 所以存在不为零的实数，使得 即 ， 又因为是不共线的向量， 所以，消解得 故选：D 【点睛】 本题考查平面向量的共线定理，需掌握共线定理的内容，属于基础题。

9．若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据且在上为减函数可得，结合，再根据对数函数的图像特征，得出结论. 【详解】 由且在上为减函数，则，令， 函数的定义域为， ，所以函数为关于对称的偶函数. 函数的图像，时是函数的图像向右平移一个单位得到的. 故选：D 【点睛】 本题考查复合函数的图像，可利用函数的性质以及函数图象的平移进行求解，属于基础题. 10．等比数列的前项和为，若，,则（ ） A．510 B．255 C．127 D．6540 【答案】B 【解析】由等比数列的性质可得，由可得公比，，再由等比数列的求和公式即可求出 【详解】 由等比数列的性质可得，解得， 又， ， ， 即， 又，所以 由等比数列的求和公式 故选：B 【点睛】 本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题. 11．已知向量满足，点在内，且，设，若，则（ ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】根据题意由得，建立如图所示的直角坐标系，由，不妨设 ，，则，再利用正切的定义结合建立关于的等式，即可解出的值。

【详解】 由得，建立如图所示的直角坐标系， ，不妨设，， 由得 ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算，属于基础题。

12．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数与方程的关系得：函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，再利用导数可得求出的单调区间，只需，即可求出 【详解】 因为函数为增函数，由函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点， 设，则， 又，所以， 则当时，， 当时，， 所以函数在为减函数，在为增函数， 要使的图像与直线有两个不同的交点， 则需，即 所以， 所以 所以 所以 所以 即 又， 所以 故选：A 【点睛】 本题考查了函数的值域问题，解题时构造函数，利用转化思想，属于中档题. 二、填空题 13．已知函数，则________. 【答案】1 【解析】根据解析式，先求，再求 即可。

【详解】 ， ， ， 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查函数的表示方法，分段函数求值，属于基础题。

14．已知向量与的夹角为，，则_______. 【答案】2 【解析】=，所以，填2. 15．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺. 【答案】1.5 【解析】由题意设此等差数列的公差为，则求出首项即可得到答案。

【详解】 设此等差数列的公差为， 由题意即解得 所以夏至的日影子长为 故答案为：
【点睛】 本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，解题的关键把文字叙述转化为数学等式，属于基础题。

16．已知函数 若，则________. 【答案】 【解析】由辅助角公式化简，再由得图像关于直线对称，利用正弦函数的性质得到，再由，得，由二倍角公式即可求解. 【详解】 设，， 所以， 又因为，所以函数的图像关于直线对称， 根据正弦函数的性质得到， 因为，， 所以， 所以 故答案为：
【点睛】 本题主要考查三角函数以及辅助角公式、二倍角公式，属于中档题. 三、解答题 17．是底部不可到达的建筑物，是建筑物的最高点，为测量建筑物的高度，先把高度为1米的测角仪放置在位置，测得仰角为45°，再把测角仪放置在位置，测得仰角为75°，已知米，在同一水平线上，求建筑物的高度。

【答案】（）米 【解析】在中，利用正弦定理求出，在求出即可求出. 【详解】 中，， （米） 因为 所以（米） 所以建筑物的高度为（）米 【点睛】 本题考查正弦定理在生活中的应用，把生活中的问题转化到三角形中进行求解，属于基础题。

18．已知等差数列的公差,前项和为.,且成等比数列。

(1)求数列的通项公式；

(2)设，记数列的前项和为,求证：. 【答案】（1）；
（2）见解析 【解析】（1）根据等差的通项公式与等比中项求出，代入等差数列的通项公式即可。

利用裂项相消法求和以及放缩法即可证明。

【详解】 （1）由题意得：， 得， 因为，所以，代入（1）式求得， 所以；

（2）由（1）根据等差数列的求和公式可得， 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题。

19．在中，角，，的对边分别是，，.已知. （Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若，，求的面积. 【答案】（I）；
（II） 【解析】（Ⅰ）由，利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得，结合角的范围可得结果；
（Ⅱ）由余弦定理可得，求出的值，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】 （Ⅰ）∵， ∴由正弦定理可得， ， 因为， ∴，∴. ∵，∴. （Ⅱ）∵，∴， ∵，∴， ∴. 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；
（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 20．设函数的正零点从小到大依次为……，，……，构成数列. （1）写出数列的通项公式，并求出数列的前项和；

（2）设，求的值. 【答案】（1），；
（2）见解析 【解析】（1）由函数的正零点，令即可求出，再有等差数列求和公式即可求出 （2）首先求出，再讨论的奇偶即可求解。

【详解】 （1） （2） 当时， 当时， 【点睛】 本题主要考查数列的通项公式、等差数列的求和公式以及求三角函数值，属于综合性题目。

21．已知函数. （1）求函数的单调区间；

（2）当时，求函数的最大值与最小值。

【答案】（1）增区间是和；
递减区间是 ；
（2）最大值是77，最小值是 【解析】（1）求函数的导数，求单调递增区间，求单调递减区间。

（2）根据函数的单调性即可求出最值。

【详解】 （1） 当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以的递增区间是和；
递减区间是 （2）由（1）知，在上单调递增，在区间上单调递减 所以的极大值为极小值为- 又因为 ，所以的最大值是77，最小值是 【点睛】 本题考查了函数的导数求单调区间和最值，属于基础题。

22．设函数 （1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）当时，恒成立，求整数的最大值 【答案】（1）；
（2）最大值为2 【解析】（1）把代入，求求导得出的斜率，代入点斜式方程即可求解。

（2）由，分离参数（）恒成立，设， 求导得出的的范围，又，即可得到的最大值为2。

【详解】 当时，， 所以，因为 所以切线方程为， 整理得：
（2），因为，所以（）恒成立 设，则 ---------6分 设则 所以在上单调递增，又 所以存在使得，时，；
时， 所以在上单调递减，上单调递增 所以，又 所以 当时， ，所以在上单调递增 所以，即 因为，所以，所以的最大值为2. 【点睛】 本题利用导数求切线方程以及求函数的最值，综合性比较强。