【2018高考全国2卷理科数学带答案】 2018年高考理科数学全国一卷

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试2卷 理科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；
非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． A． B． C． D． 2．已知集合，则中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数的图象大致为 4．已知向量，满足，，则 A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 6．在中，，，，则 A． B． C． D． 7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A． B． C． D． 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A． B． C． D． 9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 10．若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D． 11．已知是定义域为的奇函数，满足．若， 则 A． B．0 C．2 D．50 12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在点处的切线方程为__________． 14．若满足约束条件则的最大值为__________． 15．已知，，则__________． 16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分） 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值． 18．（12分） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；
根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分） 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．（12分） 如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 21．（12分） 已知函数． （1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数． （1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围． 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 二、填空题 13． 14．9 15． 16． 三、解答题 17．解：
（1）设的公差为d，由题意得． 由得d=2． 所以的通项公式为． （2）由（1）得． 所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16． 18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元)． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元)． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
（1）由题意得，l的方程为． 设， 由得． ，故． 所以． 由题设知，解得（舍去），． 因此l的方程为． （2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即． 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或 因此所求圆的方程为或． 20．解：
（1）因为，为的中点，所以，且． 连结．因为，所以为等腰直角三角形， 且，． 由知． 由知平面． （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 由已知得取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得，可取， 所以．由已知得． 所以．解得（舍去），． 所以．又，所以． 所以与平面所成角的正弦值为． 21．解：
（1）当时，等价于． 设函数，则． 当时，，所以在单调递减． 而，故当时，，即． （2）设函数． 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点． （i）当时，，没有零点；

（ii）当时，． 当时，；
当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 故是在的最小值． ①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在有一个零点， 由（1）知，当时，，所以． 故在有一个零点，因此在有两个零点． 综上，在只有一个零点时，． 22．．解：
（1）曲线的直角坐标方程为． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为． （2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ．① 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则． 又由①得，故，于是直线的斜率． 23．解：
（1）当时， 可得的解集为． （2）等价于． 而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，所以的取值范围是． 21（12分） 已知函数． （1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求． 解：
（1），． 当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，故，在单调递增． 因为，所以． （2）当时，设，则，在只有一个零点等价于在只有一个零点． ，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，故． 若，则，在没有零点． 若，则，在有唯一零点． 若，因为，由（1）知当时，，，故存在，使． ，